בגרות חורף 2025 · שאלה 3 – משולשים דומים: דלת מלבנית3 יחידות 371 · שיעור 44

בגרות חורף 2025 · שאלה 3

בגרות חורף 2025 · שאלה 3 – משולשים דומים: דלת מלבנית

פרק 6 – דמיון משולשים

1נוסח השאלה

2סעיף א – למה המשולשים דומים

3סעיף ב – יחס הדמיון

4סעיף ג – הקטע DG

5סעיף ד (1) – השטח האפור

6סעיף ד (2) – השטח הלבן

📄 נוסח השאלה

נתונה דלת שצורתה מלבן ABCD. הנקודה E נמצאת על הצלע AD, והנקודה G נמצאת על הצלע DC.

צבעו את שני המשולשים ABE ו־DEG באפור. את החלק שנשאר צבעו בלבן (ראו סרטוט).

נתון: ∢ABE = ∢DEG.

א. הסבירו מדוע המשולשים DEG ו־ABE דומים זה לזה.

נתון: AB = 140 ס"מ, DE = 112 ס"מ.

דלת מלבנית ABCD ובה שני משולשים אפורים ABE ו־DEG

📄 נוסח השאלה · המשך

ב. מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים DEG ו־ABE.

נתון: AD = 217 ס"מ.

ג. מצאו את אורך הקטע DG.

ד. (1) חשבו את השטח הכולל שצבעו באפור.

(2) חשבו את השטח שצבעו בלבן (המרובע BEGC).

סעיף א – למה המשולשים דומים

ABCD מלבן, ולכן כל זוויותיו ישרות: ∢A = ∢D = 90 מעלות.

נתון: ∢ABE = ∢DEG.

בשני המשולשים יש שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן הם דומים.

📐 משפט דמיון

ההתאמה: A מתאים ל־D, B ל־E, E ל־G.

✅ פתרון סופי: דומים לפי שתי זוויות: ∢A = ∢D (ישרות) ו־∢ABE = ∢DEG

📐 משפט דמיון

שתי זוויות שוות בהתאמה ← המשולשים דומים (ז.ז.)

סעיף ב – יחס הדמיון

לפי ההתאמה, DE במשולש DEG מתאים ל־AB במשולש ABE (שתיהן צלעות בין הזווית הישרה לזווית השווה):

k = DEAB

📐 משולשים דומים

נציב DE = 112 , AB = 140:

k = 112140

k = 45

✅ פתרון סופי: 45 (משולש DEG למשולש ABE)

📐 משולשים דומים

במשולשים דומים: יחס הצלעות המתאימות = יחס הדמיון

סעיף ג – הקטע DG

קודם AE:

AE = AD − DE

נציב AD = 217 , DE = 112:

AE = 217 − 112 = 105

DG מתאים ל־AE:

DGAE = 45

📐 משולשים דומים

במשולשים דומים: יחס הצלעות המתאימות = יחס הדמיון

סעיף ג – הקטע DG · המשך

DGAE = 45

📐 משולשים דומים

נציב AE = 105:

DG105 = 45

DG = 105 · 45

DG = 84

✅ פתרון סופי: 84 ס"מ

📐 משולשים דומים

במשולשים דומים: יחס הצלעות המתאימות = יחס הדמיון

סעיף ד (1) – השטח האפור

שני המשולשים ישרי זווית, ולכן הניצבים הם צלע וגובה:

S_ABE = AB · AE2

📐 שטח משולש

נציב AB = 140 , AE = 105:

S_ABE = 140 · 1052 = 7,350

S_DEG = DE · DG2

נציב DE = 112 , DG = 84:

📐 שטח משולש

שטח משולש = צלע · הגובה לצלע2

סעיף ד (1) – השטח האפור · המשך

נציב DE = 112 , DG = 84:

S_DEG = 112 · 842 = 4,704

השטח האפור = S_ABE + S_DEG

נציב S_ABE = 7,350 , S_DEG = 4,704:

7,350 + 4,704 = 12,054

✅ פתרון סופי: 12,054 סמ"ר

סעיף ד (2) – השטח הלבן

S_ABCD = AB · AD

📐 שטח מלבן

נציב AB = 140 , AD = 217:

S_ABCD = 140 · 217 = 30,380

השטח הלבן = שטח הדלת − השטח האפור

נציב שטח הדלת = 30,380 , השטח האפור = 12,054:

30,380 − 12,054 = 18,326

📐 שטח מלבן

S = a · b

סעיף ד (2) – השטח הלבן · המשך

30,380 − 12,054 = 18,326

✅ פתרון סופי: 18,326 סמ"ר

📌 סיכום התשובות

שתי זוויות שוות (ז.ז.)

84 ס"מ

ד (1)

12,054 סמ"ר

ד (2)

18,326 סמ"ר

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא